频谱密度 (spectral density) 是杂讯的重要特性。电压杂讯频谱密度是每平方根Hz的均方根 (RMS) 杂讯电压 (通常写成nV/√Hz)，功率频谱密度则是W/Hz。上一篇文章曾介绍过，电阻的热杂讯可由方程式2.1计算，该方程式可重新写为频谱密度的形式。热杂讯的重要特性是频谱密度相当平坦 (亦即能量均匀分布在所有频率)，因此热杂讯有时被称为宽频杂讯 (broadband noise)，运算放大器也有宽频杂讯。本文将宽频杂讯定义为频谱密度很平坦的杂讯。
除了宽频杂讯外，运算放大器通常还包含频谱密度并不平坦的低频杂讯区域，这个杂讯称为1/f杂讯、闪烁杂讯 (flicker noise) 或低频杂讯。 1/f杂讯的功率频谱通常会以1/f的速率下降，这表示电压频谱是以1/f(1/2)的速率下降。然而在实际上，1/f函数的指数可能会略有出入。 (图一)是包括1/f区域和宽频区域在内的典型运算放大器频谱。注意该频谱密度图中还包括电流杂讯 (表示为fA/√Hz)。
注意1/f杂讯也是常态分布，因此第一篇文章介绍的数学仍然适用。 (图二)是1/f杂讯在时域的波形，注意该图的X轴是以秒为单位 – 这种随着时间缓慢改变的现象正是1/f杂讯的典型特性。
| 《图二 以时域和统计方式显示的1/f噪声》 - BigPic:575x256 |
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运算放大器杂讯的标准模型如(图三)所示。在运算放大器输入端，有两个不相关的电流杂讯源和一个电压杂讯源。电压杂讯源可视为时变输入偏移电压分量，电流杂讯源可视为时变偏压电流分量。
运算放大器杂讯分析技巧
运算放大器杂讯分析技巧的目标，是根据元件资料表的资讯，计算运算放大器电路的峰对峰输出杂讯。接着本文将以适用于大部分简单运算放大器电路的公式，来解释这项技巧。对于较复杂的电路，这些公式对所预期的杂讯输出也能有粗略概念。为复杂电路发展出更精确公式是可能的，但其数学部份往往过于复杂。处理复杂电路最好采用三个步骤的做法：首先利用公式取得粗略估计，其次利用Spice产生较精确估计，最后透过测量验证结果。
以德州仪器 (TI) 的OPA277非反相放大器做为简单的电路范例 (图四)。为了求得峰对峰输出杂讯，必须把运算放大器电流杂讯、运算放大器电压杂讯和电阻热杂讯都列入考虑。我们除了将利用资料表的频谱密度曲线得到杂讯源的数值，还会考虑电路的增益与频宽。
首先，要将杂讯频谱密度曲线转换成杂讯源数值，必须透过一些微积分计算。简单来说，函数积分可以得到函数曲线下方的面积。 (图五)显示常数函数的积分其实等于高度乘以宽度 (亦即矩形的面积)。这个简单关系可以将频谱密度曲线转换成杂讯源数值。
想要求得总杂讯，一般人认为要对电压频谱密度曲线积分。但实际上得对功率频谱密度曲线积分，而这条曲线其实就是电压或电流频谱密度曲线的平方 (P=V2/R和P=I2R)。 (图六)显示以电压频谱密度曲线积分后所得到的奇怪单位。 (图七)显示如何对功率频谱密度进行积分，然后取平方根将结果转换回电压，这能得到正确的单位。
| 《图六 不正确的噪声计算方式》 - BigPic:574x141 |
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| 《图七 正确的噪声计算方式》 - BigPic:599x158 |
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对功率频谱密度曲线积分求得电压或电流频谱后，就能知道运算放大器模型的杂讯源均方根振幅 (图三)。然而频谱密度曲线会包含1/f杂讯区，及带有低通滤波器的宽频杂讯区(图八)，计算这两个部份的总杂讯必须用到前面以微积分导出的公式，然后利用第一篇文章介绍的非相关杂讯源和方根值(Root Sum Square，RSS) 加法，把这两个结果加在一起。
首先对带有一个低通滤波器的宽频杂讯区进行积分。在理想情形下，这条曲线的低通滤波器部份是一条垂直线，称为砖墙滤波器 (brick wall filter)。砖墙滤波器下的矩形面积很容易计算 (宽度 × 高度)，可惜在实际应用里无法做出完美的砖墙滤波器。尽管如此，仍有一组常数，可将实际的滤波器频宽转换成等效的砖墙滤波器频宽，以便计算杂讯。 (图九)是理论上的砖墙滤波器与一阶、二阶和三阶滤波器的比较。
(公式二)可用来转换实际滤波器或等效的砖墙滤波器。 (表一)列出了不同滤波器阶数的砖墙转换因子 (Kn)。举例来说，只要将一阶滤波器频宽乘上1.57，就能转换成砖墙滤波器频宽，调整后的频宽有时又称为杂讯频宽。随着滤波器阶数增加，转换因子会逐渐趋近于1；换言之，阶数越高的滤波器就越像是砖墙滤波器。
透过实际滤波器转换为等效的砖墙滤波器公式，可以简化频谱积分的计算。请记住，功率积分就是电压频谱的平方，所以积分结束后再取平方根即可转换回电压。 (公式三)就是以这种方式导出 (参考附录2.1)。因此，利用(公式二)和(公式三)，再配合元件资料表的资讯，便可求得宽频杂讯强度。
(表一) 砖墙修正因子
滤波器极点数目 |
Kn
交流杂讯频宽比 |
1 |
1.57 |
2 |
1.22 |
3 |
1.16 |
4 |
1.13 |
5 |
1.12 |
回想一下，本文的目标是根据(图三)决定杂讯源Vn的振幅，而这个杂讯源同时包含宽频与1/f杂讯。透过(公式二)和(公式三)已可计算出宽频杂讯分量，现在还需要计算1/f分量，而方法是在杂讯频谱密度图里对1/f区域的功率频谱积分。此区域的图形如(图十)所示，积分结果可从(公式四)和(公式五)求得。 (公式四)将1/f区域的任何杂讯正规化为1Hz位置的杂讯。有时从图里可直接读取这个数字，有时使用这个方程式比较方便。(公式五)利用正规化杂讯、上方杂讯频宽 (upper noise bandwidth) 和下方杂讯频宽 (lower noise bandwidth) 计算1/f杂讯，完整的推导过程请参考附录2.2
由于1/f函数在频率等于零的位置没有定义 (亦即1/0没有定义)，我们分析1/f杂讯时必须选择一个低频截止点。事实上，往回积分到0Hz时，杂讯值在理论上会是无限大。不过可将很低的频率视为很长的时间。举例来说，0.1Hz相当于10秒，0.001Hz相当于1000秒，至于极低频率的对应时间则可长达数年 (例如10nHz等于3年)。积分的频率区间越宽，得到的杂讯就越大。但请记住，极低频杂讯的测量必须涵盖一段很长时间。这些现象将在后面的文章深入讨论，现在只要知道0.1Hz常被做为1/f计算的下方截止频率。
宽频和1/f杂讯的振幅都已经得到，现在必须利用第一篇文章介绍的不相关杂讯源公式，将这些杂讯源相加。参考本系列第一篇文章的(公式八)。
工程师在考虑这种积分技巧时，经常会认为1/f杂讯和宽频杂讯应在两个不同的区域进行积分；换言之，他们相信由于1/f杂讯会与「1/f区域」外的宽频杂讯相加，使得直接在这个区域中相加杂讯会得到错误结果。其实1/f区域和宽频区域一样都涵盖所有频率。要记住，杂讯频谱是绘在对数图上，所以1/f区域降到宽频曲线下方后就几乎不再有任何影响。只有在相交点附近的区域 (通常称为1/f角频率) 才需将这两条曲线合并考虑。您会发现在这个区域里，这两条曲线会以上述数学模型所描述的方式组合在一起。 (图十一)显示两个区域实际上如何重叠，另外它还显示了一部份的相对振幅。
到目前为止，要将杂讯频谱密度曲线转换成杂讯源，其所需的全部方程式皆已发展出来。这些方程式虽是针对电压杂讯所导出，但同样的技巧也适用于电流。在本系列的下一篇文章中，将利用这些方程式处理运算放大器电路的杂讯分析。
结论和预告
本文介绍了运算放大器杂讯模型，杂讯频谱密度曲线，以及部份基本的杂讯方程式。本系列的第3篇文章将以实际电路为例介绍杂讯计算。
| 《图十三 附录二 一阶滤波器的「砖墙」修正因子推导过程。》 - BigPic:574x569 |
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