現代的數位互補金屬氧化物半導體（CMOS）製造技術是一種多產的元件結構，可以提供高達兆赫的交換速度。這麼高速的運算速度，使數位信號處理技術藉此得以被應用在以往只能透過「純類比」領域處理的應用電路上。從前只能用在純類比應用上的正交調變，如今也可以在數位領域找出實作方法。

基本調變

在直接探討數位正交調變之前，回顧一些基本的一般調變觀念是很有幫助的。調變的觀念並非只有現代才有，從早期人手一部的收音機便已經運用這個觀念。調變的觀念，特別是指應用在射頻（RF）電路上時，是混合兩個正弦波的信號。其中一個信號是訊息信號，包含被調變的資訊，通常由限制頻帶頻譜的正弦波來組成（如音樂）。另一個信號用來做載波，通常是一個純音調（單頻正弦波），這個載波的頻率稱做載波頻率，記做符號fc（或代表角頻率），並用於下文中，通常fc的頻率會比訊息信號成份中的最高頻率還要高得多。

調變的觀念來自三角恆等式：

公式:cos(x)cos(y)＝1/2[cos(x+y)+cos(x-y)]

若假定訊息信號是純音調頻率─fm，則訊息可以用數學式來表示為cos(2fmt)，相同的假定也可以用在載波信號，所以可以將載波信號表示為cos(2fct)。將訊息信號假定為「純音調」在數學處理時會簡單得多，但要切記，訊息信號極少是純音調，通常是由隨時間變化的振幅、頻率、相位或這幾種組合相互結合而成，甚至載波也不需要是純正弦波，也存在載波是方波且基頻為fc，而在濾出調變信號時，方波fc內含的諧波便可做處理。

較早被提出的混合處理方法是利用乘法來運算，因此上述的三角恆等式可以將混合處理表示成下式：

公式:cos(2fct)cos[2fmt]＝1/2cos[2(fc+fm)t]+1/2cos[2(fc-fm)t]

因此，信號與載波的混合造成訊息頻率的改變，訊息的頻率由原本的轉換成兩個新頻率，一個比載波大(fc+fm)，一個比載波小(fc-fm)，分別是高、低旁頻帶。除此之外，由於有1/2的因子出現在等式右邊，這表示被傳送信號需承受6dB的損失（減少50％）。

剛才描述的調變形式稱為雙旁頻帶調變，因為傳送訊息用的頻率範圍是在載波頻率以上及以下兩邊。另一種調變形式稱為單旁頻帶調變，可用來消去上旁頻帶或下旁頻帶。有一種可以用來取單旁頻帶的方法，就是使用正交調變器。正交調變器用兩個載波來混合訊息，兩個載波工作在相同的頻率，但互相偏移相位90度（因此稱為「正交」）。簡而言之，兩個載波可用cos(2fct)及sin(2fct)來表示。同樣的將訊息也改造成包含兩個分離的信號：一個是原來的，一個較原信號相位偏移90度。原信號與載波的餘弦成份混合，相位偏移90度的信號與載波的正弦成份混合。這兩種調變實現了單旁頻帶功能，利用三角函數可表示成：

公式:[cos(x)cos(y)]+[sin(x)sin(y)]＝[1/2cos(x+y)+1/2cos(x-y)]+[1/2cos(x-y)-1/2cos(x+y)]

注意等式右邊可化簡成cos(x-y)，也就是說，只剩下低旁頻帶。在上面的等式中，x是載波而y是訊息。附帶一提，改變一下等式左邊的運算符號，可以讓等式右邊只出現高旁頻帶。(圖一)的單旁頻帶及雙旁頻帶調變器的函數表示式是與相關的頻譜一起列出，但是，訊息是以限制頻帶的頻譜，而不是純音調表示出來，這樣的表示法較接近實際應用的情況。訊息的任一個組成頻率都被轉換到一邊或兩邊的載波上，如圖一所示。

《圖一　(a)雙旁頻帶(b)單旁頻帶調變器函數表示式與相關頻譜》

數位數值表示法

為了增加對基本調變的了解，對於在數位世界中數位數值表示法的使用有起碼的了解，也是有幫助的。數字的基本構成方塊為位元，它只有二個值──0或1。位元可以連結起來以表示較大的數字，就像是十進位數字那樣。舉例而言，十進制系統的一個位數能夠表示出0至9的值，但使用三個位數的數字148則用來表示以下的和：8(100)+4(101)+1(102)＝8+40+100＝148。由最右位數開始，每一位數帶有以十為底的遞增升冪排列（十、百、千等）。類似的做法，二進制數字由最右位數開始，每一位數帶有以二為底的遞增升冪排列，例如10010100＝0(20)+0(21)+1(22)+0(23)+1(24)+0(25)+0(26)+1(27)=0+0+4+0+16+0+0+128＝148，二進制表示法的好處並不是那麼容易看得出來。

舉例來說，二進制在運算時變得非常累贅，試考慮100萬這個數，用十進制數字只要7個位數就可以表示出來，二進制數字表示卻要用到20位數，這樣的標示法看起來不太有效率。但是真正的關鍵在於事實上每一個二進制數字只有二個值，這可以簡單的模型化成開關的狀態（開或關），而這個開關可以用一個電晶體來做電子化的實現，接下來，數百萬個電晶體又可以實現成一個矽晶片。放數百萬個二進位開關在單一晶片上，就是轉成數位這件事的優勢。

回到調變的觀念上，調變被點出可應用在使用正弦波的情況下，因為正弦波可以表示成三角函數，可能是正值或負值，所以數位調變需能夠表示負的二進位值，從表示法的角度來看，這真是簡單──放一個負號在最左位元的左邊。但是從實作的觀點來看，這個負號是不存在的。

為解決負數的難題，二補數二進制表示法的概念便被發展出來。在這種表示法系統中，最左邊位元帶著正/負數的資訊，我們常把最左邊位元稱為最大有效位元或MSB，其他的位元則帶著量值的資訊。二補數的MSB若為0，則代表正數，若MSB為1，則代表負數。當MSB為0（正數），非MSB位元則代表一般二進制的數字，舉例來說，二補數為0101則十進制數字為+5。如果MSB為1（負數）的話，則非MSB位元要先反相（換言之0變成1）後再加1，舉例來說，二補數為1101，則十進制數字為-3，最高位元表示為負值，其他的位元（101）被反相為010或十進制的2，再加1後結果為3，所以最後結果為-3。，雖然看起來很難懂，但在硬體上，使用這樣基本的數字建構方塊，可以簡單的實作出來。

值得注意的是，將類比的功能用數位來實現需要一些妥協，舉例來說，類比信號不是一個數量，而是個物理量。反之，數位信號是一個數量，只適合模倣類比信號。數位系統依賴絕對數值精密度與適度數值精密度之間的妥協。舉例來說，類比正弦波信號的大小值是由無窮多個數字構成的，也就是說，可以把一個類比正弦波看成是由無限個小步階所構成的。假如選擇較大的步階，便犧牲了精確度而以較少的數字來表示純類比波形。實際上，可完全用很小（但有限）的步階加上一些雜訊（即每一個步階與理想類比值之間的偏離值）來換取絕對的純類比正弦波。步階的多少直接與數位解析度相關。解析度是用來表示類比信號全大小範圍所用的位元數，舉例來說，一個10位元二進值能夠表示出類比信號的精密度介於1至210（或1/1024），約0.1％。

取樣數位信號

數位調變完全依照取樣定理的基礎理論。取樣這個題目太過於廣大，這裡無法完全講到，但簡要概述可用來釐清其緣由。因為主題為調變，會使用一個正弦波信號做為模型，(圖二)(a)是以圖形方式表示的正弦曲線連續時間圖。表示於水平軸的任一瞬間t，正弦曲線的大小值表示在垂直軸。(圖二)(b)表示一正弦曲線的均勻取樣。注意其大小值只有在一定的離散時間點──即取樣的瞬間才能知道，而取樣的時間點為時間的均勻分布。取樣定理說明只要至少有兩個取樣信號瞬間發生在被取樣的正弦曲線完整週期內，則正弦曲線將可以由兩個取樣點完整重組。

《圖二　正弦曲線(a)連續時間圖(b)均勻取樣》

讓取樣如此吸引人的，就是如何將大小值的取樣值編碼成二補數的二進值，所以從數位的觀點來看，假如我們產生一組適當的數列值，我們便可以產生一個數位正弦波，但我們為什麼要一開始就產生一個數位正弦波呢？回顧一下，調變需要載波信號，例如正弦波。在類比的領域中可以用工作在某個頻率的振盪電路實做出來，但是在數位的領域中，就需要實做出幾種數位振盪器出來，結果只要用數值控制振盪器，就可以輕鬆的實做出來。

數值控制振盪器（NCO）

在簡化的結構中，NCO是正弦曲線取樣值的查詢表，通常是用一個ROM（唯讀記憶體）、一個用來求ROM位址的二進計數器、一個驅動計數器的時脈信號來實現，如(圖三)。在ROM上的連續位址包含完整正弦曲線的連續取樣值，當計數器開始動作時，每數一下就會定址到下一個ROM的位址，使得對應的數字出現在ROM輸出，計數器的時脈速率就是用這個系統的取樣速率。假如檢查ROM的輸出一段時間，可看到一串數列隨著取樣速率在做更新。輸出的數字範圍會視ROM的位元寬度而定，因此ROM輸出位元寬度決定了整個數位正弦波的解析度，舉例來說，如果ROM的輸出位元數為10位元，則使用二補數來表示的話，我們要表示的正弦波會產生數字範圍從－512至＋511之間的大小值。

《圖三　數值控制振盪器NCO架構圖》

這個特定的NCO範例只能產生特定頻率的數位正弦波，也就是說，取樣率除以存在ROM裡面的取樣點數（假設存在ROM的取樣點是為一整個週期的正弦波）。更有彈性的NCO使用一種相當大的ROM（或許可容納4096個取樣點或更多），而計數器能夠使用一些輸入模數來計數，也就是說，可以由頻率控制參數來設定一個一數或兩個、三個、四個、五個一數等等。舉例來說，假如取樣頻率為10MHz，ROM的字組長度為4096字組，頻率控制參數為1，那麼輸出正弦波的頻率就變成10 MHz/4096 or 2.44 kHz，假如頻率控制參數為5，則在每一個輸入時脈週期，計數器一次跳5步，這使得ROM為每跳5個位址所存的值會依次被讀出，最終的結果為正弦波有較粗糙的大小值步階，但有較高的頻率，特別的是，新正弦波的頻率將變成10 MHz/（4096/5）or12.21 kHz。一般而言，可以表示成：fs(N/M)，其中fs為系統的取樣頻率，N是頻率控制參數，M是ROM的字組長度。

在本文中可以發現這個題目有很多變化，重點在NCO提供一種在特定的取樣頻率，但又有可程式的頻率，以產生數位正弦波的方法，然而這個頻率是受到一個整數倍數（即取樣率除以ROM字組的長度）所限制的，這個數最大值可以取到取樣率的1/2（即倪奎斯特限制）。ROM的長度（定址範圍）越長，頻率解析度越好；ROM的輸出字組位元數越多，大小值的解析度越好。

數位正交調變

前面所敘述的部份提供了基本原理以了解調變、數位領域的數字表示法、一種產生取樣正弦波的方法。要確實了解數位調變，這三個觀念是必要的。數位正交調變器的基本建構方塊基本上與圖一(b)所示的類比單旁頻帶調變器是相同的。

(圖四)為數位正交調變器圖，其主要的差異為不同於兩個乘法器、一個加法器及載波信號完全是由數位建構方塊所產生的。

《圖四　數位正交調變器架構圖》

圖四所示的模型可以簡單的用數位硬體來實做。數位NCO的組裝已於先前討論過，乘法器與加法器也可以簡單的用基本的數位建構方塊（AND、OR及NOT單元）來設計，唯一的實際限制是可接受的最大取樣頻率（主要依半導體製程而定）及功率消耗。

有一條基本規則在數位調變是不能忽略的，那就是數位載波信號與數位訊息信號兩者必須被取樣於相同的速率，在同一個例子中，訊息信號是由取樣速率低於載波取樣速率的數位信號所組成，這種情況下訊息信號必須要數位式增加取樣以配合載波的取樣速率。但是這又完全是另一個主題，較本文更進一步。在已知的技術文件中，取樣頻率轉換技術很難得看到。

回到圖四，數位正交調變有兩個訊息信號輸入：X及Y，除此之外，兩個NCO產生正交載波信號。相同的系統時脈及頻率控制參數送入NCO，但是一個NCO用的是存有餘弦波的ROM，另一個NCO用的是存有正弦波的ROM。載波頻率fc是由頻率控制參數決定。

一般情況下，X及Y輸入信號是預期的正交成份，例如，如果X是頻率fm的數位餘弦波，而Y是同頻率的數位正弦波，那麼正交調變器的輸出是單旁頻帶音調的頻率fc－fm。如要用在其他的架構上，稍為修改程式即可，系統的取樣頻率（Fs）與載波頻率（Fcarrier）兩者皆可被改變，但是注意到，實際載波頻率（Fc）並沒有完全與Fcarrier的輸入值相配合，這是由於NCO所用的頻率控制參數（FCN）是用於二進計數器的模數值，必須是整數值，這個限制意謂著只會有有限的頻率解析度，也就是說，只會產生由符合的FCN值產生出來的頻率。

結論

本文已經展示數位正交調變的關鍵要點，由於現今的半導體製程使速度加快，以數位實作調變功能終於可以比類比技術更好。只要數位半導體技術繼續推升工作頻率，這樣的趨勢將持續下去，要記得在數位領域實作類比函數，最終結果是一組數位時間數列（採樣過程的自然結果），然而這個數字流還是必須轉換回類比波形以為實際應用，因此數位對類比轉換器（DAC）用來轉換數位信號到類比領域。類比電路本身還是一個有用的角色，特別是數位類比轉換器。事實上當取樣頻率與解析度都增加時，高解析度DAC的需求就變得非常明顯了。（作者任職於美商亞德諾）