在真实的实验案例中，几何或材料的非线性特性会显着影响变形状况。这些效应可能导致力和位移的非线性关系。本文聚焦说明於几何变化引起的非线性效应。

翘曲预测是射出成型模拟中的一个关键环节，而大多数翘曲分析都采用线性弹性法。一般情况下，模型适用线性分析，而不用考虑几何、材料或边界条件非线性的影响。然而有时会造成模拟结果与实验结果不一致，尤其是对软薄构造的模型，例如汽车产品和光学元件等。而为了改善数值模拟与实验的差异，我们在计算中引入几何非线性效应，详细说明如下。

非线性结构分析

在数值结构分析中，线性弹性分析是计算在外力施加下结构变形最简单的方法。然而在真实的实验案例中，几何或材料的非线性特性会显着影响变形状况。这些效应可能导致力和位移的非线性关系。 图1显示线性弹性和非线性弹性分析之平衡关系差异。

图1 : 线性弹性和非线性弹性分析之平衡路径差异

本文聚焦於几何变化引起的非线性效应。这种非线性通常发生在厚度较小的壳状产品，或是厚度分布明显不均匀的产品中。 因此，若要考虑几何非线性效应，就必须先考量有限元变形理论。

有限元变形理论

有限元变形理论考虑了原始和变形配置之间的位置变化。因此在非线性分析中，结构刚性和边界条件在计算过程中可能由於几何形状的变化而改变（不同於线性弹性分析中，刚性矩阵会维持不变）。 故结构系统可看作是位移的函数，可以表示为：

[K(u)]{△u}=f(u)

此函数中，K(u)是结构刚性，△u是位移量，f(u)则是外力。

上述为非线性等式，我们须将其正切刚性线性化，并迭代求解。线性化後的平衡系统可以以下公式表示：

[K_t]{△u}=f_res

为了进行迭代计算，我们采用牛顿-拉弗森方法━━解决非线性数学问题的最着名的方法。此分析会持续收敛，直到残馀力小於收敛标准时即完成解答。

几何扰动（Imperfection）模型应用

有时在数值分析过程中，结构分析中不容易出现非线性情况。但由於真实通常不如理想考量，模型中可能会存在制造过程产生的不完美，而这些不完美处可能会触发非线性平衡路径。举例来说，大多数数值软体会应用微小的扰动来呈现不完美特性。我们的非线性翘曲分析中也将导入挫屈分析的特徵向量，作为触发非线性特性的缺陷。

以「非线性翘曲分析」进行翘曲预测

Moldex3D针对使用者的翘曲分析需求，推出新的求解器「非线性翘曲分析」。在此求解器中，使用者只须选择「非线性翘曲功能」项目，软体进行分析时即会自动考虑非线性几何效应。

以下先用一个简单的例子来说明考虑几何非线性的影响。图2为比较「标准翘曲」和「非线性翘曲」的结果，两个结果的变形形状明显不同。透过这些结果的平衡路径，我们可以轻易观察到该模型的几何非线性在分析中起着重要的作用。因此若要获得准确的分析，此类壳状产品势必要考虑几何非线性的影响。

此外，非线性翘曲分析也提供应力分布结果，供使用者检视应力值最大或应力集中的区域在何处。

图2 : 非线性翘曲分析(左)与线性翘曲分析(右)

图3 : 负载-位移曲线

图4 : 不同元件的应力分布

汽车零件应用案例

汽车零件的制造通常是以薄件或轻量化为目标，因此其几何效应可能会导致几何非线性及其他物理性质分布差异等问题。

以下用一个汽车零件案例来呈现几何非线性的影响。如图5所示，线性和非线性翘曲分析存在明显的变形差异。图6红圈区域的体积收缩结果显示，由於该区厚度较薄，使其收缩值高於其他区域。由此案例可看出，在考虑几何非线性的情况下，显示由模型几何、加工条件或纤维等因素所导致的不同收缩分布看来，对变形的影响很大。因此，对於类壳状产品，我们通常会建议使用者选择「非线性翘曲」分析进行变形预测。

图5 : 线性分析(左)与非线性分析(右)结果比较

图6 : 充填/保压阶段的体积收缩

简化网格应用

在迭代过程中，非线性分析非常耗时且计算成本相当高；此外，用於流动分析的网格元素数量庞大、元素形状也较大，与结构分析的需求不同。

以图7为例，左侧是原始建构的流动分析网格，但由於边界层网格在外力施加下，网格元素可能会变形，因此有时不太适合结构分析。因此，我们通常建议使用者建构如图七中右图的网格，使网格元素均匀分布。

Moldex3D在此也提供了一个介面，让使用者可输入元素数量和品质更适合进行结构分析的网格。透过此映射工具进一步延续射出模拟的资讯，可显着降低计算成本，并妥善保存重要的物理量值。

图7 : 原始网格与简化网格比较

结论

除了标准和强化版翘曲分析外，Moldex3D还提供了考虑几何非线性的翘曲求解器。我们强烈建议使用者选择此求解器来进行壳件产品，如汽车零件和光学元件的翘曲分析。此外，还提供了一个介面给用户使用元素量较少的模型进行分析，以降低分析的计算总成本。

（本文作者林享梁为科盛科技研究发展部工程师）