色散失真（CD Chromatic Dispersion or GD Group Delay）

不同波長的光在真空中行進的速度是相同的，但當進入介質時，會取決於介質的特性造成傳輸速度上的差異，這種不同波長在速度上的延遲造成信號失真，稱之為色散。例如白光穿透三菱鏡時，紫光速度較紅光快。當從空氣進入折射率較高的介質時，速度較快的光波造成的散色角較大，在穿透三菱鏡造成分色的光譜。在光纖內部，是參雜稀有元素的方式產生不同的折射率，因此對於不同波長的光源，其行進速率就略有不同，一般光學元件也是如此。以10Gbps、波長1550nm採ASK調變的DFB雷射為例，在頻譜上的展頻為20GHz，但在光譜中，就有約0.16nm的位移（一般光譜儀無法解析出此信號），加上DFB雷射會因溫度效應使中心波長產生飄移，因此，當一個調變信號進入光元件時，會因載波速度的不一致造成訊號失真，如(圖一)所示。

《圖一　光纖被動元件內部的色散示意圖》

早期只有純光纖需要作失真的量測，因為失真是與光纖長度有關的，但光元件愈趨積體化，其參雜元素愈複雜，加上資料傳輸速度增加，為了估計及降低整個系統的失真情形，各個關鍵元件就必須要量測並加以補償，一般在估計色散的極限與調變速度的公式為：

《公式一》

一般單模光纖色散值約為數十ps（nm*km），代表每公里、不同波長的失真比例。在長距離、高傳輸速度如10Gb/s以上的通訊系統中，色散效應明顯地影響解調訊號的正確性。但色散現象屬於較穩定的值，只要了解元件的特性，可以採用補償的方式補救，例如漸變式布拉格光纖光柵（FBG Fiber Bragg Grating）或一段色散情形恰與一般光纖相反的反色散式光纖（Reverse Dispersion Fiber）。

偏極化的原理

光可視為電磁波的一種形式，即所謂的TEM Wave（其中T = Transmission代表傳輸方向，E = Electric代表隨時間脈動的電場，M = Magnetic代表隨時間脈動的磁場），從電磁學的理論中，知道當電磁波在行進時，電場與磁場方向恆為正交（orthogonal），亦即一旦決定了電場方向，也就決定了磁場的方向。因此在表示偏極化時一般以電場方向來定義，電場是一個向量，有大小及相位，且為時間的函數，若考慮X、Y、Z三維的空間，Z為傳輸行進方向，則電場在二維空間中就可以分成X與Y軸的兩個分量，極化的概念就從這裡推演出來。

《公式二》

首先，我們定義偏極化的程度DOP（Degree of Polarization），它表示所有電磁波能量中偏極化能量的所佔的比率，偏極與非偏極光最大差別在於偏極光是有週期性的，但非偏極光為雜亂的訊號。最簡單的辨別方式是，在同一時間點上，偏極光只有一個電場的方向，但非偏極光則會出現兩種以上的隨機方向電場；(圖二)左為圓偏極光、右方則為無偏極狀態。一般來說，波寬越寬的光源偏極程度越低，反之波寬越窄的光源偏極程度越高，因此當光源發射出的波長越單純，極化程度越好。以自然光、發光二極體為例，它是各方同向性的隨機光源，DOP值較小，視為無偏極化，但半導體雷射光源，因共振腔的特性使得極化程度最高，可達90％以上。

《公式三》

《圖二　電場在有偏極及無偏極化的示意圖》

接下來，是極化的狀態SOP（State of Polarization），因電場可分為Ex及Ey兩個分量，兩分量不同的大小及相位差，就決定了極化的狀態，若兩分量的相位相同，此時極化的狀態稱為線性偏極。以(圖三)右方為例，當Ex=0，此時電磁波只在Ey軸方向脈動，稱之為垂直線性偏極（LHP Linear Vertical Polarization），若Ex及Ey大小相等，即是出現在第一、第四象限中的45度線偏極（與Ex軸夾角的度數）等；總之，當相位相同時，光波就在固定的方向做線性的脈動。

《圖三　三維及二維空間中的電場極化特性》

若兩分向量的相位不一致時，情況就較複雜，(圖四)是考慮Ex與Ey的振幅大小相同但相位差90度的情形（Eox比Eoy快90度）：

《公式四》

《圖四　Ex與Ey振幅大小相同但相位差90度的情形》

當Ex或Ey向量的大小不一致，或相位差不為90度的倍數時，便出現了橢圓偏極的狀態，也就是當極化狀態除了線性偏極或圓偏極之外，其餘均為橢圓偏極。

極化狀態的表示方式

在了解各種偏極形成的原因之後，接下來的問題是如何去描述偏極的狀態，表示方式有許多種，介紹如下︰

Jones Matrix

此法以二維的矩陣來表示，其中Ex、Ey代表大小，δx及δy分別代表兩軸相位。以水平線性偏極為例，經過歸一化之後，，若是右旋圓偏極則為，使用二維的矩陣的好處是，若我們可以知道光源起始及最後的偏極狀態，就可以透過矩陣及聯立方程式的運算，將光元件特性以矩陣的方式表達。例如說，入射的光源是水平線性偏極光（LHP），當通過一λ/4的延遲片後，所得的偏極光為右旋圓偏極（RHC），以下便是矩陣的表示方式，DUT的行為就可以決定出來。

《公式五》

Stokes Vector

前面所提的Jones Vector是假設光源為100％的極化程度，但在實際光學系統中，考慮不是完全極化的光源，就要分為極化與非極化的部分來討論；相較之下，Stokes向量矩陣加強了部分極化程度的光源的分析，它是一個1×4的矩陣，它的表示方式及內部組成元素的關係如下︰

《公式六》

Poincare Sphere

邦加球（Poincare Sphere），是由Stokes矩陣衍伸出來，以三維空間的圖形來代替矩陣，使我們在做分析時能一目了然，如(圖五)所示，其中各矩陣元素都已做歸一化。在球面上的任一點，都表示特定的極化狀態，有相對應的Stokes矩陣，在球面上任兩點表示極化程度相同，但極化狀態不同；若出現在圓心，則表示極化程度為零；部分極化程度的光則表示在半徑比較小的圓球上。若狀態出現在球面的赤道部分，表示是線性偏極；出現在南北兩極便是圓偏極，除了以上的部分，其他都屬於不同狀態的橢圓偏極。除此之外，我們還可以從圓球上起始及終點的軌跡，可分析出如何從一個偏極狀態到另一個偏極狀態的路徑。

《圖五　邦加球矩陣及圖形表示法》

Mullar Matrix

Jones、Stokes向量及邦加球是數學運算的工具，它可以表示目前極化的狀態為何，但對於元件本身，我們可以使用Jones矩陣來表達元件對穿透光產生的偏極特性，前已提到，Jones矩陣是以完全極化程度的特性來表達，在使用上因有複數項使用上較不方便。但對於Stokes向量及透過Stokes 向量運算的Mullar矩陣而言，它是一個4×4的矩陣，對於任何極化程度及狀態的元件，如偏極片、延遲片及光衰減器等，都能用此矩陣表示。

《公式七》

右方矩陣是入射光源與元件作用後，在左方矩陣得到結果，即：結果=待測物×入射源。例如入射光源是一個無極化光源，能量為1，當經過一個水平線性偏極片後，穿透光變成水平線性偏極，光源能量部分被吸收降為原來的2/3，則矩陣表示如下︰

《公式八》

失真在光通訊上造成的影響

在了解公式的定義後，我們回到實際的應用層次。大部分光纖通訊均以數位編碼的方式做調變，考慮的重點不外乎能量、時間與光波長的關係，作分析時，就可分成能量、失真兩部分來考量。首先是能量的部分，當光源穿過各元件時，會產生一定程度的插入損失，同時光在元件中行進時，會使極化狀態改變，而各極化狀態下所產生的插入損失有所不同，因這種改變是不可預期的，所以造成插入損失的不確定性，我們稱為極化相依損失PDL（Polarization Dependent Loss），例如某光隔絕器IL＝0.2dB，PDL＝±0.1dB，則插入損失就有一個不確定值0.2±0.1dB。

在時間部分的信號失真主要有三種︰多模態失真（MD Modal Dispersion）、色散及偏極化模態失真（PMD Polarization Mode Dispersion）。多模態失真出現在多模光纖中，當光通過光纖時，因模態及邊界條件不同使行走的路徑不同，不同攜帶能量產生光程差，使信號到達時間不同產生失真，這種模態失真大小為另兩種失真的數百倍，因此在多模光纖系統中不需要考慮其他兩者造成的影響。但對於單模光纖而言，光僅容許一條路徑通過，因此沒有多模態失真的問題，這時就必須考慮另外兩者造成的影響。對於色散的定義，前以定義，在此不贅述。

最後是偏極化模態失真的現象，在了解光的極化特性後，進一步解釋光纖本身的結構與偏極化的關係，我們以雙折射的現象為例說明，如(圖六)。

《圖六　三種使信號失真的情形》

(圖七)是方解石的晶體（CaCO3），它是一個在正交的方向有不同的折射率的典型例子。折射率的不同並不在於傳輸的方向，而是電磁波脈動的方向，因此當光波通過晶體時，折射率因為光波脈動方向的不同使得傳輸的速度有所差異，在圖中我們看到兩個影像重疊在一起，這是由獨立的兩個光波所組合成，稱為O-ray（Ordinary ray）及E-ray（Extraordinary ray）。

《圖七　自然結晶的方解石雙折射現象》

以光元件來說，可以視為一種程度很小雙折射物體，(圖八)為示意圖。光纖中的核心層部分理論上應該是圓形的，但實際上卻有可能是橢圓的形狀，主要原因有兩個︰一個是在光纖預型體或抽絲後後製作上的小瑕疵，另外是當我們使用光纖時因彎折或旋轉對其產生的應力，因此當光波通過核心層時，因電磁波脈動方向不同有快軸與慢軸之分，快軸與慢軸為正交。顧名思義，快軸表示電磁波在這個方向脈動時行進波傳遞速度較快，慢軸則表示傳輸速度較慢，如此一來，以不同極化態攜帶的信號便會產生時間的延遲現象，也就是當兩軸行走的速度不同造成信號的失真。若在接收端以眼圖做分析，它因不同偏極到達時間不一致，而使光能量的分布有如圖八右方的差異。此時產生較大的抖動（Jitter）並使誤碼率增加，造成通訊品質下降。

《圖八　偏極模態失真示意圖》

色散、偏極化模態失真量測原理

相對於能量在不同波長下的損失行為，失真則是考慮電磁波在相位上的變化。同一空間中，當不同的波長或頻率的電磁波通過某一段介質後，產生的相位速度（Phase Velocity）不一致，使群速度（Group Velocity）與相位速度不同，產生波包（Envelope）的行為，將相位對頻率微分，可以得到平均的失真情形，即群速度延遲（Group Delay）。以光學來說，就是探討介質與波長的關係，亦即色散現象。更進一步分析，電磁波在電場行進方向上可以分成TE、TM兩種正交模態；理論上，兩種模態傳遞速度是一致的，但實際上卻不相同，這兩個模態的變異性就稱為（Differential Group Delay；DGD），因與極化行為有密切關係，又稱為偏極化模態失真（PMD）。

《圖九　色散與偏極化模態失真示意圖。（圖中橫座標為頻率，縱座標為相位）》

色散失真量測原理

在色散參數的量測方面，其一是採用微波工程用的網路分析儀（Network Analyzer）搭配光學調變器作參考相位與待測物相位間相位位移的偵測，經過光電的轉換，就可得到群速度延遲參數，如(圖十)所示。網路分析儀內的訊號產生器產生一個電磁連續波（CW Continuous Wave）到電光轉換的光學調變器（Modulator）上，當可調式雷射光輸入固定波長的光到調變器時，因為折射率的快速變化，使調變器內部兩路光產生建設性及破壞性干涉而形成調變的訊號，以調變訊號輸入到待測元件輸入埠，穿透後的能量經過光接收器，將調變光訊號解調成原來的微波訊號再饋入網路分析儀，即圖中的A埠；網路分析儀內部在送微波訊號時，R埠是偵測入射訊號的振幅、相位作為參考源（注意A及R為向量，皆具有振幅及相位部分），則從A與R相位部分的比值，就可以得到相位差，從入射微波中得到調變的頻率，就可以算出相對性群速度延遲參數。

《圖十　色散量測法量測儀器架構示意圖》

另一種新的色散失真量測技術是採用等相掃描干涉的原理（簡稱SHI Sweep Homodyne Interferometry），其原理與高速調變的Mach-Zehnder干涉儀類似，不必使用RF的網路分析儀作光電的切換，就可直接使用可調式雷射光源作掃描的動作。原理是以可調雷射光源同時匯入待測物及參考路徑中，因兩路徑中的光波振幅及相位在接收端會產生干涉現象，與時間相關的節拍（Beat）頻率就決定了信號的相位；與時間相關的振幅，就決定了信號的大小。因為雷射光源處於掃描模式，因此時間相關參數即為雷射掃描速度，從掃描範圍得到波長的參數，群速度延遲就可以從兩點間相位的微分中得到。

《圖十一　掃描干涉儀工作原理示意圖》

偏極模態失真量測原理

另一種方式，是使用Jones矩陣的方式，透過兩個光纖環將偏極狀態調成圓偏極的狀態，之後使用0、45度、90度的線性偏極片，將元件的Jones本徵矩陣算出來（Principle State of Polarization；PSP），當雷射光源改變波長時，就對應出另一個矩陣。TE、TM的變異性，就可以從兩個矩陣中得到，而變異性就定義為DGD。正確的做法是將量測結果對應統計上的結果是否符合Maxwell's分布模型，若標準差值過大則必須增加取樣點增加量測精確度，若標準差值不大則可減少取樣點數來增加產能，平均值就是我們要求的PMD，(圖十二)右下方為PMD統計分布圖。

《圖十二　使用JME法量測PMD架構示意圖》

另一種方式，與GD法同樣採干涉原理來完成，它是先以任一極化狀態為基礎，當通過待測物的快慢軸後，以極化光分離器PBS（Polarization Beam Splitter）分解出兩個正交的向量u11、u21，接下來，再以延遲片將光源旋轉90度作第二次入射，同樣經過待測物後再分解成另兩個向量u12、u22，此時就有一個2×2的Jones矩陣，即，代入公式算出PMD的值，因干涉現象相當靈敏，在量測時需要注意到環境的影響如震動、溫溼度等。如(圖十三)。

《圖十三　PMD量測方法示意圖》

結論

目前光被動元件的量測參數不外乎五大類，以能量來看，有IL/ RL/ PDL；以失真來看，有CD/ PMD，無論是哪些量測參數，精準的雷射光源一定是必要的條件，目前有整合所有被動元件量測的全參數分析儀問世，如此一來就不需為了某一個特殊規格的量測傷腦筋，在研發階段也能確切的掌握元件的所有特性，這正是整合測試站量測的目標。

（本文作者畢業於中正大學物理所，目前於安捷倫科技任職電子儀器事業群技術部技術顧問。）