前言
氣壓系統在產業自動化中，屬於低成本自動化的領域，在各製造業中被廣泛應用，如自動進料退料系統、包裝機械、塑膠射出機、IC插件機、高速研磨機等，對於省力化、少人化的自動生產系統，扮演著極重要且基本的角色，同時氣壓系統若搭配適當的機構、感測器及電動機控制即是機電整合(Mechatronics)。氣壓系統致動器依其運動方式之不同，可分為產生直線運動之氣壓缸、產生旋擺運動之氣壓旋擺器與產生迴轉運動之氣壓馬達。其中氣壓馬達(air motor)與電氣馬達相較，氣壓馬達有如下特性：
- ●可以無限制的反覆正逆轉或停止、起動而不會燒
- 毀。
- ●起動或停止時的切換無火花產生，無爆炸之虞。
- ●轉速的選擇範圍大。
- ●受外界環境如濕氣、氣溫、塵埃等因素的影響少。
- ●超負載時馬達停止不會有燒毀之虞。
- ●重量、外型均較同馬力之電氣馬達輕巧。
雖然氣壓馬達有上述之優點，但是由於氣體具有可壓縮性、高摩擦力、易於洩漏、非線性等問題，所以氣壓馬達的應用多屬簡單的開路控制，無法像電氣馬達進行精密伺服控制。早期關於氣壓系統的研究有Shearer[1][2]，其嘗試將氣壓系統於操作點作線性化建立數學模式並以傳統控制理論設計控制器，然而，近年來隨著積體電路的快速發展，各種微電腦數位控制器的種類不斷的推陳出新，與功能不斷的增強；此外各種現代控制方法與理論也不斷地提出，諸如模糊控制、類神經網路控制、適應性控制、強健性控制等，使得過去無法與不易進行的氣壓系統精密伺服控制，如今也有學者嘗試以現代控制方法與理論來研究開發[3-10]。
國內關於氣動馬達伺服控制的研究較少，其中李[9]使用DSP based之模糊控制器進行氣動馬達轉速伺服控制，許[10]採用參考模型適應性控制(model reference adaptive control) 進行氣動馬達轉速伺服控制。上述研究皆從時域的觀點，進行氣動馬達控制系統分析，而本研究從頻域的觀點，考慮氣動馬達控制系統具參數變動與外界干擾的系統不確定性情況下，採用強健性控制理論，設計氣動馬達轉速控制器，進行氣動馬達轉速強健性控制。本文第一小節為氣壓馬達特色與研究簡介，第二小節分析氣動馬達動態模式與氣動馬達系統鑑別，第三小節簡介強健性控制理論與規範，第四小節進行數值模擬與實際實驗，第五小節結論。
氣動馬達之動態模式
氣動馬達動態模式
氣壓馬達依設計形式可分為活塞式(Piston type)、輪葉式(Vane type)、齒輪式(Gear type)與渦輪式(Turbine type)，在工業應用中以輪葉式氣動馬達為最常被使用，所以本研究採用輪葉式氣動馬達進行其動態模式分析與轉速控制測試。
輪葉式氣動馬達動態模式[3-5]整理分析如下，在氣動馬達控制系統中主要由電磁閥與氣動馬達本體構成，由於電磁閥的電磁響應遠快於氣動馬達氣體響應，於此將忽略電磁閥的電磁響應，僅考慮氣動馬達氣體響應。首先考慮氣動馬達入口處壓力變化方程式為（公式一）
其中，Pi為入口處壓力，Vi為入口處氣室體積，ei與為正值常數，ui為電磁閥輸入電壓值，fi為一非線性不連續函數，如下方程式（公式二）所示:
其中，Cp為定壓比熱，Cv為定容比熱，Ti為氣室溫度，Y為k之非線性函數。相同地，氣動馬達出口處壓力變化方程式為（公式三）:
由於氣動馬達出入口處之壓力變化，產生氣動馬轉軸旋轉運動，忽略氣壓洩漏因素，氣動馬達轉動動態模式可以推導如下列方程式（公式四）:
其中，Jl、Jr分別為負載與轉子轉動慣量，Bl、Bm分別為負載與馬達阻尼，dl、dm分別為轉子與空氣摩擦阻力，Pa為大氣壓力，由以上的分析得知氣動馬達轉動動態模式為一非線性時變函式。
氣動馬達系統鑑別
本節中，本研究將以實際實驗數據對氣動馬達進行開路系統鑑別，其目的是將氣動馬達轉動動態模式此一非線性函式以一具乘法式不確定性與干擾之SISO回授控制系統型式表示，如圖一所示，以便後續強健性控制分析與設計。
首先本研究使用動態分析儀(Agilent 35670A Dynamic Analyzer)對氣動馬達於不同操作點，比例閥開度分別為30%、40%、50%與60%(相對應之輸入電壓為6.5V、7V、7.5V與8V)，進行sin波掃描(Vp=1V)，氣動馬達輸入壓力為3 bar，並將實驗數據進行一階系統曲線揉合，結果如圖二所示。
| 《圖二 系統不同操作點之頻率響應》 - BigPic:794x664 |
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接下來，對氣動馬達於不同操作點，比例閥開度分別為20%、40%、60%、80%與100%(相對應之輸入電壓為6V、7V、8V、9V與10V)，進行步階響應測試，正規化結果如圖三所示。
由以上數據分析得到氣動馬達動態，系統增益為非線性變化，截角頻率約為1rad/sec，上述氣動馬達動態可以以一具系統參數變化之模式表示，如下轉移函式所示（公式五）。
本研究選擇比例閥開度60%(8V)之氣動馬達動態為常態系統(nominal plant) ，其轉移函式為（公式六）
並設定系統於低頻有50%的擾動，高頻有200%的擾動，系統不確定上邊界為（公式七）
所以最大擾動系統為（公式八）
圖四顯示G(s)、~G(s)與系統關係，由圖中可以看出最大擾動系統~G(s)已涵蓋所有馬達轉動動態。
| 《圖四 G(s)、~G(s)與系統之時域響應》 - BigPic:559x439 |
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強健性控制器設計
本文的主要目地是設計一H 控制器滿足一具有乘法式不確定性氣壓馬達控制系統的強健性能規範，本節將簡單說明強健性控制原理與規範。
系統不確定性(Model uncertainty)
考慮一具乘法式不確定性與干擾之SISO回授控制系統如圖二所示。其中，常態系統(nominal plant)轉移函數為G(s)，擾動系統(perturbed plant)轉移函數可表示為下列方程式（公式九）
| 《公式九 擾動系統(perturbed plant)轉移函數》 |
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W2(s)為一穩定權衡函數，其用來描述系統不確定性的頻率範圍，所以|W2(s)|可以提供設計者明瞭系統不確定的輪廓，Δ(s)為系統不確定函數且∥△(s)∥∞≦1．∥△(s)∥∞的H的範數為Δ(s)的波德圖的最大值，定義（公式十）為
強健穩定性(Robust stability)
根據最小增益定理[11]，得知一具乘法式不確定性的系統要漸進穩定其充分必要條件為（公式十一）
其中，T(s)為補靈敏性函數，定義為（公式十二）
常態性能(Nominal performance )
強健控制系統除了必需滿足強健穩定性規範外尚必須考量其追跡性能，即必須滿足下列常態性能條件（公式十三）
其中，W1(s) 為一穩定權衡函數，為控制系統之頻率性能規格，S(s)為靈敏性函數，定義為（公式十四）
強健性能(Robust performance)
由以上分析得知，若一控制系統同時滿足強健穩定性Eq.(11)與常態性能Eq.(13) ，則稱該系統具有強健性能，經推導可得強健性能的條件為（公式十五）[12]
模擬與實驗結果
氣動馬達控制系統架構
本研究之氣壓馬達轉速控制系統，主要是由氣壓源、空氣調理組、5口3位比例閥(FESTO MPYE-5-1/8)、快速排氣閥(FESTO)、輪葉式氣壓馬達(TONSON V1-L)、旋轉光學編碼器、伺服驅動器(內建HT46R24 MCU與轉速轉換電路)、個人電腦及相關運動控制卡(ADLINK 9112 )所構成。其系統架構圖，如圖五所示。
「氣壓馬達控制系統」工作原理詳述如下：個人電腦為系統控制器與人機界面，使用者輸入預設定之氣壓馬達轉速值，個人電腦計算相 對應之控制量，再經由運動控制卡DAC轉換成0~5V類比電壓訊號送至伺服驅動器，經伺服驅動器內運算放大電路送出0~10V電壓至比例閥，比例閥依輸入電壓大小控制高壓空氣進入氣壓馬達之流量與方向，使氣壓馬達按照期望之轉速與方向運轉，最後經由光學編碼器的量測送出方波訊號至伺服驅動器經由HT46R24 MCU計時/計數器計算出氣壓馬達轉速並轉換為類比電壓訊號傳輸至Pc，Pc根據此回授轉速值與內建控制法則(control law) ，調整輸出類比電壓訊號進而達到氣壓馬達轉速閉迴路控制。其中位於氣動馬達出入口之2只快速排氣閥，其功能是使氣動馬達排氣不再經由5/3氣壓比例閥排氣，而是經由快速排氣閥較大口徑排氣口排氣，由於氣動馬達排氣是經由最短路徑排放，阻力最小，氣動馬達背壓減小，因此氣動馬達轉速大幅增加。氣動馬達轉速閉迴路控制方塊圖，如圖六所示。
模擬
為了測試與驗證本文所提出之強健控制器之可行性與性能，本研究進行下列模擬，分析氣動馬達轉速閉迴路控制系統之強健穩定性與強健性能。
考慮氣動馬達轉速閉迴路控制系統為一具乘法式不確定性與干擾之SISO回授控制系統如圖一所示，
選定常態系統轉移函數為（公式十六）
系統性能要求為低頻(低於6 rads/sec)穩態誤差小於5%，設定系統性能邊界為（公式十七）
設定系統於低頻有50%的擾動，高頻有200%的擾動，系統不確定上邊界為（公式十八）
根據Hinf控制理論，使用Matlab軟體演算可獲得滿足強健性能條件Eq.(15)之控制器（公式十九）
| 《公式十九 滿足強健性能條件Eq.(15)之控制器》 |
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並使用此控制器進行數值模擬，測試控制器強健性。圖七顯示靈敏性函數、補靈敏性函數、常態性能與強健穩定性的波德圖，由圖七顯示控制系統確實滿足常態性能Eq.(13)與強健穩定性Eq.(11)的規範。
| 《圖七 靈敏性函數、補靈敏性函數、常態性能與強健穩定性的波德圖》 - BigPic:560x420 |
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進一步檢查系統是否滿足強健性能Eq.(15)圖八顯示常態性能、強健穩定性與強健性能邊界均低於1(0dB)，說明系統確實符合強健性能要求。
| 《圖八 常態性能、強健穩定性與強健性能邊界》 - BigPic:559x439 |
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此外本研究也檢視控制系統時域響應，圖九顯示常態系統與最大擾動系統之單位步階響應，結果顯示系統穩態誤差均小於2%，安定時間約為0.3秒，顯示系統有良好時域性能。
| 《圖九 常態系統與最大擾動系統之單位步階響應》 - BigPic:560x420 |
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實驗結果
最後本研究將所設計的強健控制器安裝於氣壓馬達轉速控制系統上進行實際測試。
測試一:步階響應測試，輸入訊號1V(1200rpm)，測試結果如圖十所示，穩態誤差與模擬結果十分吻合滿足常態性能條件W1(s)，暫態性能結果與模擬結果有稍許差異，其一實際系統大約有0.015秒時間延遲，此一時間延遲於建模時並未考慮進去，其二實際系統上昇時間略快於模型，此一差異應屬於建模誤差所致，但整體步階響應是滿足強健性能要求。
測試二:輸出線性測試，分別於不同操作點，輸入訊號1V(1200rpm)、2V(2400rpm) 與3V(3600rpm)，測試結果分別約為1175 rpm、2325 rpm與3475 rpm，呈線性輸出關係並且穩態誤差均小於5%允許範圍內，如圖十一所示， 相較於圖三系統未受控制前開路非線性輸出，本文所提出之強健性控制器確實可以有效控制一非線性系統並滿足性能要求。
| 《圖十 模擬與實測之步階響應》 - BigPic:560x420 |
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| 《圖十一 不同操作點之步階響應》 - BigPic:560x420 |
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測試三:系統干擾測試，系統壓力維持於3 bar，輸入訊號1.5V(1800rpm)，待系統到達穩定時，以手動瞬間調整穩壓閥，調降系統壓力為2.5 bar，系統轉速變化如圖十二所示，氣動馬達轉速由1750 rpm 略降為1700 rpm 隨即回升為1720 rpm，氣動馬達轉速並未因系統壓力大幅下降(16%)造成系統不穩定或性能變差，顯示本控制器受干擾時的強健性與優越性。
| 《圖十二 受干擾系統之轉速響應》 - BigPic:612x439 |
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結論
本文從頻域的觀點，考慮氣動馬達控制系統具參數變動與外界干擾的系統不確定性情況下，採用強健性控制理論，設計氣動馬達轉速控制器，進行氣動馬達轉速強健性控制，從實驗的結果與過程中，可得下列結論：
(1)本文所使用的控制方法，在控制精度上，皆可以控制在5%之內，在暫態反應上，大約0.3秒即達安定時間，故具很高控制性能；在系統參數變動干擾上，亦有很高之強健性。
(2)本文在氣壓馬達轉速系統上，使用快速排氣閥，增加氣壓馬達轉速，改善氣壓馬達動態性能；此外使用數位壓力錶來監控與調整壓力，避免實驗的誤差，增加實驗的可信度。
(3)使用高性能低價的微控制器構成感測與驅動電路，檢修容易具成本優勢，符合工業需求。
綜合以上所述，證明本文所提之控制方法與硬體之可行性與優越性。
---作者林柳絮為德霖技術學院機械工程學系講師、林憲陽為機械工程學系副教授、王宣勝為機械工程學系副教授兼機械工廠廠長；本文作者感謝盛群半導體提供部份經費與設備，張治副總經理與任錦燦、王國會兩位經理的協助與指導，本研究得以順利完成---
參考文獻
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[9]李仁森，氣動馬達定速控制，碩士論文，中央大學機械系，2005。
[10]許雲峰，氣動馬達的適應性控制，碩士論文，台灣大學機械系，2006。
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[12]Kemin. Zho, Essential of Robust Control, Prentice Hall Publishing Company, New York, 1998.
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