对于滤波器设计工程师们来说，如何设计窄通频(Narrow Passbands)与转换频带(Transition Bands)的部分，可说是最具挑战性的任务之一，由于人们试图将大量的资讯挤进范围有限的频谱当中，因此种种严苛的限制已经不能等到产品设计阶段才讨论，而必须向前移至滤波器规格确定阶段，就必须将其纳入考量。一般而言，这些限制往往提高了对高阶滤波器(High Order Filter)的需求，所谓高阶层数，指的是较长的长度，也就是要能提供较大的容量以储存滤波器系数(Coefficeint )，并提供较高的执行速度以因应运算问题的处理；然而，事实上，就算极度高阶滤波器的设计有可能达成，也是一件十分困难的工作。

本文将介绍如何以多频取样滤波器(Multirate Filters)的概念，在相当严苛的频域限制下，完成有限脉冲响应滤波器(Finite Impulse Response Filters;FIR)的设计与实现。所谓多频取样滤波器是指：在滤波器的设计中，取样资料输入频率可能有一次或一次以上的改变，且资料输出频率永远维持与资料输入频率完全相同；而此种滤波器设计较一般标准的单一取样频率滤波器而言，能有效缩短滤波器长度与降低其所需的运算速度，提升高阶滤波器设计的可行性，否则，若以单一取样频率的概念来设计，恐怕绝非易事。

多频取样有限脉冲响应滤波器可运用许多标准的有限脉冲响应滤波器设计方法来设计；不过，在本文中，仅以Equiripple Design Technique(Remez)为例，为读者详细介绍。 (注：此法试图以滤波器频率响应在衰减带的起伏等量平均变化，达成滤波器设计的最佳化。)首先，本文将介绍如何以MATLAB完成滤波器设计，以Simulink完成动态模拟，以多频取样滤波器概念设计十分窄通频的低通(Lowpass)、高通(Hightpass)、带通(Bandpass)滤波器；其次，再以窄通频滤波器设计的范例，延伸至非常宽通频的滤波器设计。以下，即以一个窄通频低通滤波器做为多频取样滤波器设计概念介绍的开场。

单频取样滤波器设计

假设将设计工程师们将设计能保留频率低于70 Hz(赫兹)的讯号、滤除频率高于80 Hz的讯号的一个低通滤波器(Lowpass Filter)(图一)，且其取样频率为8 kHz，所以，若以取样频率的一半作为正规化的基准，则将此滤波器的拒绝频率80 Hz正规化后，将为80/4000或0.02；此外，为了更详细描述此有限脉冲响应滤波器，设计者还须明确指出其所能接受的最大通频衰减值(Maximum Passband Attenuation)与最小拒频衰减值(Minimum Stopband Sttenuation)，此例假设以0.15 dB或0.01 Linear为最大通频衰减值，以80 dB或10-4 Linear为最小拒频衰减值。

《图一 An example of lowpass FIR filter design specifications》

接着，设计工程师们可以MATLAB及Signal Processing Toolbox中的功能函式remezord来预测其所需单频取样equiripple有限脉冲响应滤波器的阶层数：

结果,阶层数为2511(即滤波器系数=2512a)的有限脉冲响应滤波器,这实在是一个相当长的滤波器!于是,此设计可以下列指令进行:

假设一个乘法及累积运算(MAC Operation)需要一对对称的滤波器系数，则上树脂滤波器所需的运算速度则为2512/12 MACs/sample*8000sample/sec，计算结果为10 million MACs/sec (每秒1千万个乘法及累积运算)；本文将以此做为一个基准点，在接下来的介绍中，读者便可以数据上的比较，体会到多频取样滤波器设计的优点。

多频取样窄通频滤波器设计

读者也许已经注意到：在上例单频取样设计中(图二)，输出讯号的频宽相对于取样频率而言，显得相当地窄；事实上，欲还原频宽为80 Hz讯号的最小取样频率只需要160 Hz，也就是只要目前取样频率的160/8000，即1/50就可以了。这个事实给设计工程师们一个重要的启示：设计工程师们可从每50个输出讯号中取出一个讯号(取样法：decimation；即每取50个样本就移除49个样本)，就能确保还原后的讯号不会失真。

《图二 Simulink model of a single-stage multirate FIR filter implementation of a lowpass narrowband filte》

所以，工程师们可采用一连串的取样器(Decimator)来设计有限脉冲响应滤波器，此法的最佳例证即为所谓具取样法概念的多相位有限脉冲响应滤波器(Polyphase FIR Decimation Filter)，因为其可有效以取样因子(Decimation Factor)M降低其对于运算速度的需求；简言之，每M个输入样本中，只取其中一个为样本，其他的M-1个都将它们「丢却」 。因此，多相位有限脉冲响应取样滤波器便可在不影响讯号还原准确性的情形下，以此取样的方法，将连续M个输入值化简为一个输入值，有效降低其所需的运算速度。

上述的取样方法，的确是多频取样滤波器设计的精髓，不过，严格说来，它只完成了一半而已；接下来，设计工程师们还能采用另一个精髓来设计多频取样滤波器。一般而言，在多频取样的设计里，工程师们都假设讯号输出频率等于其输入频率，因此，在讯号经过取样之后，设计工程师们还必须在取样后的多相位有限脉冲响应滤波器讯号结果里，将数个讯号内插回去，以求得与原始输入频率相同的输出频率，这称为内插法(Interpolation：Upsample Operation；即在每个样本之后，插入L-1个值为0的讯号点)，可透过多相位有限脉冲响应滤波器(Polyphase FIR Interpolation Filter)来达成。与取样器(Decimator)的原理相同，内插器(Interpolator)将可有效降低所需的运算速度至相当于原本的1/L；假设在讯号进入内插概念滤波器之前，每L个样本都是非零的讯号点，则工程师们则可插入L-1个0，以略过0值的样本，有效降低所需的运算速度，此即为一个最明显的例子。

1.单阶多频取样滤波器设计

截至目前为止，相信读者对于如何以一连串的多相位有限脉冲响应滤波器的取样与内插概念，设计出一个更有效率的多频取样滤波器，已经有了初步的认识。事实上，就单阶多频取样滤波器(Single-stage Multirate Filter)而言，它并无法有效缩短滤波器的长度需求，不过，它确实能有效降低运算负担；为了让读者有更深入的认识，首先就回到本文所讨论的低通设计范例：设计工程师们可以选择以48作为滤波器取样群的样本个数(依前例，最大取样群样本各数为8000/160=50，为了避免边际值所引发的误差，最好选择较此最大值稍小一点的值作为取样群样本个数)。

于是，设计工程师们便可将其设计模型，以Simulink的区块流程图加以表现(图二)：其中有限脉冲响应取样器(FIR Decimator)与有限脉冲响应内插器(FIR Interpolator)，皆为DSP blockset工具箱中预先写好的函式库，只须以滑鼠拖曳，并输入特定参数即可产生。而已知滤波器系数为2512(与单频取样有限脉冲响应滤波器设计中的值相同)，因此，其所需的运算速度可以下式求得：

2.多阶多频取样滤波器设计

若设计工程师们对于单阶多频取样所降低运算负荷的好处还不满足，则可采用多阶多频取样的滤波器设计(Multistage Multirate Filter Design)，因为，它能更进一步缩短滤波器的长度(即降低滤波器系数：Filter Coefficient)。举例来说，工程师们可以不要以48作为取样群组的样本个数，而改以两阶段的取样方式，则取样群组的样本个数可拆解成两个，如：12和4、或是24和2、或者其他乘积为48的各种组合，如12*2*2的三阶段取样方法。本文则以12和4的组合，为读者加以解说(图三)。

《图三 Simulink model of a two-stage multirate FIR filter implementation of a lowpass filter with narrow passband》

由于第一阶段取样的群组样本个数为12，因此第一阶滤波器的讯号必须在原先标准化取样频率的1/12(约为0.083)之前就切断，才能避免讯号失真。读到这里，或许细心的读者已发现到：0.083讯号切点较整体80 Hz设计的80/4000=0.02讯号切点的限制宽松许多，这就是第一阶段取样之所以能缩短滤波器长度的设计诀窍之一。

不过，这并不保证缩短滤波器长度的任务能够达成，因为工程师们还必须考虑第二阶段的取样要如何帮忙完成整体的滤波器规格(70 Hz以下为通频带，80 Hz以上为拒频带；而现在的取样频率已是原先取样频率的1/12了)；当然，至少经过第一阶段取样后，第二阶段取样的限制就减轻多了，工程师们面对如何设计一个长度较短的两阶段滤波器，至少已经成功了一大半。然而，在此同时，工程师们必须谨记在心：由于其改采两阶段取样方法，各阶段滤波器频率响应在衰减带的起伏变化(Ripple)，都必须降为原来的一半，而此动作将加长整体的滤波器长度，因此，如何选择最佳的取样组合，以充分兼顾上述各种可能影响滤波器长度、运算负荷的因素，便是多阶滤波器能否较单阶滤波器更有效率的最大关键。

再回到本文所讨论，以equiripple滤波器设计方法所实现的滤波器设计范例，若采多阶多频取样的方法，则其第一阶滤波器阶层数为225，其计算指令如下：

所以，整体而言，此滤波器的系数为452(即225+1+225 +1)，较原先单阶设计的滤波器系数2512大幅降低了许多。此外，此二阶设计的取样器运算负担可以下式求得：

而同理可得，其内插器的运算负担也是94 kMACs/sec，因此这个两阶段多频取样滤波器的整体运算负担总和亦仅仅为188 kMACs/sec。

(表一)明确地比较「单频取样」、「单阶多频取样」、「两阶段多频取样」设计在各方面的表现，读者可强烈地感受到：只要设计工程师能慎选其取样与内差的组合，两阶段多频取样滤波器(多阶多频取样滤波器)，无论在滤波器长度上(较短)、或在运算负荷上(较小)的表现，都远远胜过其他两种滤波器。

《表一 Comparison of single-and multirate filter implementations for an 80 Hz lowpass filter operating at an 8kHz input rate》

此外，值得一提的是，在多阶多频取样滤波器设计原理中，设计工程师亦可融入框架基础(Frame-based)的概念，以更进一步提升其效率。 (图四)即为一个框架基础、多阶多频取样、窄通频、低通滤波器设计的实例：在这个实例中，框架中的元素个数为48，所以取样频率已以框架大小表现出来，因此，如前述之12与4的取样组合，在此例中，第一阶段取样后即留下48/12 = 4 个样本。请注意：框架中的元素个数必须等于取样组合的乘积(此例为48)，另外，无论是样本基础(Sample-based)或框架基础的概念，皆可适用于本文所述的各种多频取样滤波器设计方法。

《图四 Frame-based implementation of the multirate multistage narrow lowpass filter》

多频取样窄通频的带通与高通滤波器设计

1.多频取样窄通频带通滤波器设计

前述的窄通频低通滤波器(Lowpass Filter With Very Narrow Passband)设计方法可延伸至带通(Bandpass)与高通(Highpass)滤波器的设计，设计工程师们可采用九十度相位差模组化方法(Quadrature Modulation)，将多频取样的设计概念应用至带通滤波器设计。基本上，工程师们可将所感兴趣的带通中央频率模组化为基频(频率等于0)，以窄通频低通滤波器处理后，再将模组拆解至原始的中央频率，不过，由于九十度相位差模组化的过程需要复数讯号(相对于实数)进入低通滤波器，因此这些实质上与想像中的讯号处理，势必增加带通滤波器的运算负担，而Simulink可完全支援这些必要的复数讯号，在(图五)中以(c)表示。

《图五 Multistage multirate FIR filter implementation of a narrow bandpass filter》

(图五)中可见，所有模组化(Modulation)与模组拆解(Demodulation)的动作都是指：乘上一个离散复数指数模组函式(Discrete Complex Exponential Modulation Function；m(n)； Fs samples/sec为取样频率，f为中央频率)：

2.多频取样窄通频高通滤波器设计

了解了多频取样窄通频带通滤波器的设计原理后，就能很快地将它延伸至多频取样窄通频高通滤波器的设计上，事实上，只要将中央频率设为取样频率的一半(Fs/2)，即可将一个窄通频低通滤波器转换成窄通频高通滤波器，简言之，这个模组化的函式可以下列式子表示：

相信设计工程师们看到上列函式，必定雀跃不已，因为这个模组化函式中，不再有复数了(因为cos(πn)=(-1)n，永远在正负1两个数中跳动)，这不但使得运算简化许多，工程师们更可以免除将输入讯号与m(n)相乘的动作，而直接将有限脉冲响应滤波器系数乘上+1、-1的连续性变化，即可将其频带模组化。因此，显而易见地，窄通频高通滤波器的设计原理事实上与窄通频低通滤波器的设计原理相同，只不过是将其滤波器系数的正负号改变而已。[ 参考图三、(图四) ]

多频取样宽通频滤波器设计

当设计工程师们已熟悉多频取样窄通频低通、带通、高通滤波器设计原理后，便可迈向多频取样「宽通频」高通或低通滤波器的设计了。假设有一个窄通频低通滤波器的转换函式为L(z)，则相对于它的宽通频高通滤波器转换函式则为H(z)=1-L(z)，(其原理为：自一个全通(All Pass)滤波器响应中，扣除低通滤波器响应，即得宽通频高通滤波器响应)。以时域概念来说，设计工程师们可从一个复制的延迟原始输入讯号中，扣除多频取样低通滤波器的输出讯号，就能完成宽通频高通滤波器的模型，如(图六) 。

《图六 Multistage multirate FIR filter implementation of a highpass filter with wide passband》

不过，设计工程师们要特别注意的是：延迟讯号的选择，必须确认其延迟与多频取样​​滤波器群组延迟相同。举例来说：单频取样有限脉冲响应滤波器的群组延迟，则为该滤波器长度的一半，而若就二阶取样低通滤波器而言，则其每一次取样的群组延迟都必须依期原先的讯号输入频率而加以计算，也就是说，要以单频取样群组延迟的值，乘上之前的取样群组样本数，所以，回归至先前讨论的二阶滤波器(已同时包含取样器与内插器)，则其最终群组延迟样本数N可计算如下：

同理可证，设计工程师们亦可以此原理，将一个窄通频高通滤波器转换为宽通频低通滤波器。

结论

无论是极窄通频、极宽通频的滤波器设计，都可采用多阶多频取样DSP滤波器设计技术来设计、实现、并提高其效率。 MATLAB与Simulink提供设计工程师们一个最完整、最容易上手的设计、分析、模拟环境，让工程师们面对复杂的系统时，也能游刃有余。 (本文译者目前任职于钛思科技)